Voronoi diagram of orthogonal polyhedra in two and three dimensions

Τα διαγράμματα Voronoi αποτελούν μία θεμελιώδη γεωμετρική δομή δεδομένων και έκφραζουν αποστάσεις σημείων στο χώρο από ένα σύνολο αντικειμένων. Θεωρούμε ορθογώνια πολύεδρα ευθυγραμμισμένα με τους άξονες. Πρόκειται για πολύεδρα των οποίων οι έδρες σχηματίζουν ορθές γωνίες, και οι ακμές είναι παράλληλες προς τους άξονες ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Voronoi στο εσωτερικό ενός ορθογώνιου πολυέδρου με τρύπες που ορίζονται από αντίστοιχα πολύεδρα, χρησιμοποιώντας την max-νόρμα. Πρόκειται για έναν συνδυασμό που βρίσκει πολλές εφαρμογές σε τομείς όπως τα raster graphics και ο σχεδιασμός κυκλωμάτων VLSI. Παρουσιάζουμε έναν αλγόριθμο για την κατασκευή αυτών των διαγραμμάτων Voronoi σε δύο και τρεις διαστάσεις. Ακολουθούμε τη μέθοδο υποδιαίρεσης και βασιζόμαστε σε μία δομή δεδομένων από bounding-volumes: πρόκειται για μία μή τετριμμένη προσέγγιση του προβλήματος. Επιπλέον αναλύουμε την πολυπλοκότητα του αλγορίθμου, η οποία είναι γραμμική κάτω από μία υπόθεση ομοιόμορφα κατανεμημένης εισόδου. Μέρος της παρούσας εργασίας πρόκειται να δημοσιευθεί στα πρακτικά του συνεδρίου SEA^2 2019 (Special Event on Analysis of Experimental Algorithms).Voronoi diagrams are a fundamental geometric data structure for obtaining proximity relations. We consider axis-aligned orthogonal polyhedra in two and three-dimensional space. These are polyhedra whose faces meet at right angles and their edges are aligned with the axes of a coordinate system. We construct the exact Voronoi diagram inside an axis-aligned orthogonal polyhedron with holes defined by such polyhedra, under the max-norm. This is a particularly useful scenario in certain application domains, including raster graphics and VLSI design. Our approach avoids creating full-dimensional elements on the Voronoi diagram and yields a skeletal representation of the input object, equivalent to the straight skeleton. We introduce a complete algorithm in 2D and 3D that follows the subdivision paradigm relying on a bounding-volume hierarchy; this is an original approach to the problem. The algorithm reads in a region bounding the input polyhedron and performs a recursive subdivision into cells (using quadtrees and octrees for 2D and 3D resp.). Then, a reconstruction technique is applied to produce an isomorphic representation of the Voronoi diagram. An hierarchical data structure of bounding volumes is used to accelerate the 2D algorithm for certain inputs and is necessary for the efficiency of the 3D algorithm. The complexity is adaptive and comparable to that of previous methods. Under a mild assumption it is O(n / D+1 / D^2) in 2D or O(n a ^2 / D^2+1 / D^3) in 3D, where n is the number of sites, namely edges or facets respectively, D is the maximum cell size for the subdivision to stop (and is <1 under the appropriate scaling), and a bounds vertex cardinality per facet. We also provide a numerically stable, open-source implementation in Julia, illustrating the practical nature of our algorithm. Part of the current thesis is given in the paper "Voronoi diagram of orthogonal polyhedra in two and three dimensions", co-authored with Prof. Ioannis Z. Emiris, that is about to appear in Proceedings of SEA^2 2019 (Special Event on Analysis of Experimental Algorithms)

PTOPO: A Maple package for the topology of parametric curves

International audiencePTOPO is a MAPLE package computing the topology and describing the geometry of a parametric plane curve. The algorithm behind PTOPO constructs an abstract graph that is isotopic to the curve. PTOPO exploits the benefits of the parametric representation and performs all computations in the parameter space using exact computing. PTOPO computes the topology and visualizes the curve in less than a second for most examples in the literature

Calculs algébriques et géométriques exacts pour les courbes paramétriques

This thesis proposes algorithms for solving non-linear computational geometry problems related to parametric curves. Specifically, it focuses on computing the topology of curves in ℝⁿ and the convex hull of curves in ℝ^2 and ℝ^3, without resorting to implicitization. The algorithms perform exact computations with real algebraic numbers through separation bounds and interval arithmetic. For the topology computation, the proposed algorithm works for curves in any dimension and computes an abstract graph that is isotopic to the curve in the embedding space. The bit-complexity is analyzed and found to be linear in the dimension of the ambient space. For the convex hull computation, the thesis presents algorithms for plane and space curves. The convex hull is a semi-algebraic set and an exact representation of its boundary is obtained through a combination of line segments and arcs of the curve for the 2D case, and of triangles and surface patches for the 3D case. The boundary description is computed for each case along with bit-complexity estimates. The computation reduces to univariate and bivariate solving and to isolating roots of a univariate polynomial with coefficients in a multiple algebraic field extension. To provide asymptotic upper bounds for the convex hull problem, the thesis provides bit-complexity bounds for the root isolation of a polynomial F ∈ L[Y], where L is a multiple algebraic extension of ℚ. Aggregate bounds for the separation of the roots of F are employed and two algorithmic solutions are présente; a formal one based on Rational Univariate Representations and a numerical one that is also certified.Cette thèse propose des algorithmes pour résoudre des problèmes de géométrie computationnelle non linéaire liés aux courbes paramétriques. Elle se concentre spécifiquement sur le calcul de la topologie des courbes dans ℝⁿ et de l'enveloppe convexe des courbes dans ℝ^2 et ℝ^3, sans avoir recours à l'implicitation. Les algorithmes effectuent des calculs exacts avec des nombres réels grâce à des bornes de séparation et à l'arithmétique des intervalles. Pour le calcul de la topologie, l'algorithme proposé fonctionne pour des courbes de n'importe quelle dimension et calcule un graphe abstrait qui est isotopique à la courbe dans l'espace de plongement. La complexité binaire est analysée et trouvée pour être linéaire dans la dimension de l'espace ambiant. Pour le calcul de l'enveloppe convexe, la thèse présente des algorithmes pour les courbes planes et les courbes spatiales. L'enveloppe convexe est un ensemble semi-algébrique et une représentation exacte de sa frontière est obtenue par une combinaison de segments de droite et d'arcs de la courbe pour le cas en 2D, et de triangles et de patchs de surface pour le cas en 3D. La description de la frontière est calculée pour chaque cas ainsi que des estimations de la complexité binaire. Le calcul se réduit à la résolution univariée et bivariée et à l'isolement des racines d'un polynôme univarié avec des coefficients dans une extension de corps multiple. Pour fournir des bornes supérieures asymptotiques pour le problème de l'enveloppe convexe, la thèse fournit des bornes de complexité binaire pour l'isolement des racines d'un polynôme F ∈ L[Y], où L est une extension algébrique multiple de ℚ. Des bornes amorties sur la séparation des racines de F sont utilisées et deux solutions algorithmiques sont présentées; une formelle, qui est basée sur la représentation rationnelle univariée, et une solution numérique, qui est également certifiée

Calculs algébriques et géométriques exacts pour les courbes paramétriques

This thesis proposes algorithms for solving non-linear computational geometry problems related to parametric curves. Specifically, it focuses on computing the topology of curves in ℝⁿ and the convex hull of curves in ℝ^2 and ℝ^3, without resorting to implicitization. The algorithms perform exact computations with real algebraic numbers through separation bounds and interval arithmetic. For the topology computation, the proposed algorithm works for curves in any dimension and computes an abstract graph that is isotopic to the curve in the embedding space. The bit-complexity is analyzed and found to be linear in the dimension of the ambient space. For the convex hull computation, the thesis presents algorithms for plane and space curves. The convex hull is a semi-algebraic set and an exact representation of its boundary is obtained through a combination of line segments and arcs of the curve for the 2D case, and of triangles and surface patches for the 3D case. The boundary description is computed for each case along with bit-complexity estimates. The computation reduces to univariate and bivariate solving and to isolating roots of a univariate polynomial with coefficients in a multiple algebraic field extension. To provide asymptotic upper bounds for the convex hull problem, the thesis provides bit-complexity bounds for the root isolation of a polynomial F ∈ L[Y], where L is a multiple algebraic extension of ℚ. Aggregate bounds for the separation of the roots of F are employed and two algorithmic solutions are présente; a formal one based on Rational Univariate Representations and a numerical one that is also certified.Cette thèse propose des algorithmes pour résoudre des problèmes de géométrie computationnelle non linéaire liés aux courbes paramétriques. Elle se concentre spécifiquement sur le calcul de la topologie des courbes dans ℝⁿ et de l'enveloppe convexe des courbes dans ℝ^2 et ℝ^3, sans avoir recours à l'implicitation. Les algorithmes effectuent des calculs exacts avec des nombres réels grâce à des bornes de séparation et à l'arithmétique des intervalles. Pour le calcul de la topologie, l'algorithme proposé fonctionne pour des courbes de n'importe quelle dimension et calcule un graphe abstrait qui est isotopique à la courbe dans l'espace de plongement. La complexité binaire est analysée et trouvée pour être linéaire dans la dimension de l'espace ambiant. Pour le calcul de l'enveloppe convexe, la thèse présente des algorithmes pour les courbes planes et les courbes spatiales. L'enveloppe convexe est un ensemble semi-algébrique et une représentation exacte de sa frontière est obtenue par une combinaison de segments de droite et d'arcs de la courbe pour le cas en 2D, et de triangles et de patchs de surface pour le cas en 3D. La description de la frontière est calculée pour chaque cas ainsi que des estimations de la complexité binaire. Le calcul se réduit à la résolution univariée et bivariée et à l'isolement des racines d'un polynôme univarié avec des coefficients dans une extension de corps multiple. Pour fournir des bornes supérieures asymptotiques pour le problème de l'enveloppe convexe, la thèse fournit des bornes de complexité binaire pour l'isolement des racines d'un polynôme F ∈ L[Y], où L est une extension algébrique multiple de ℚ. Des bornes amorties sur la séparation des racines de F sont utilisées et deux solutions algorithmiques sont présentées; une formelle, qui est basée sur la représentation rationnelle univariée, et une solution numérique, qui est également certifiée

Calculs algébriques et géométriques exacts pour les courbes paramétriques

Cette thèse propose des algorithmes pour résoudre des problèmes de géométrie computationnelle non linéaire liés aux courbes paramétriques. Elle se concentre spécifiquement sur le calcul de la topologie des courbes dans ℝⁿ et de l'enveloppe convexe des courbes dans ℝ^2 et ℝ^3, sans avoir recours à l'implicitation. Les algorithmes effectuent des calculs exacts avec des nombres réels grâce à des bornes de séparation et à l'arithmétique des intervalles. Pour le calcul de la topologie, l'algorithme proposé fonctionne pour des courbes de n'importe quelle dimension et calcule un graphe abstrait qui est isotopique à la courbe dans l'espace de plongement. La complexité binaire est analysée et trouvée pour être linéaire dans la dimension de l'espace ambiant. Pour le calcul de l'enveloppe convexe, la thèse présente des algorithmes pour les courbes planes et les courbes spatiales. L'enveloppe convexe est un ensemble semi-algébrique et une représentation exacte de sa frontière est obtenue par une combinaison de segments de droite et d'arcs de la courbe pour le cas en 2D, et de triangles et de patchs de surface pour le cas en 3D. La description de la frontière est calculée pour chaque cas ainsi que des estimations de la complexité binaire. Le calcul se réduit à la résolution univariée et bivariée et à l'isolement des racines d'un polynôme univarié avec des coefficients dans une extension de corps multiple. Pour fournir des bornes supérieures asymptotiques pour le problème de l'enveloppe convexe, la thèse fournit des bornes de complexité binaire pour l'isolement des racines d'un polynôme F ∈ L[Y], où L est une extension algébrique multiple de ℚ. Des bornes amorties sur la séparation des racines de F sont utilisées et deux solutions algorithmiques sont présentées; une formelle, qui est basée sur la représentation rationnelle univariée, et une solution numérique, qui est également certifiée.This thesis proposes algorithms for solving non-linear computational geometry problems related to parametric curves. Specifically, it focuses on computing the topology of curves in ℝⁿ and the convex hull of curves in ℝ^2 and ℝ^3, without resorting to implicitization. The algorithms perform exact computations with real algebraic numbers through separation bounds and interval arithmetic. For the topology computation, the proposed algorithm works for curves in any dimension and computes an abstract graph that is isotopic to the curve in the embedding space. The bit-complexity is analyzed and found to be linear in the dimension of the ambient space. For the convex hull computation, the thesis presents algorithms for plane and space curves. The convex hull is a semi-algebraic set and an exact representation of its boundary is obtained through a combination of line segments and arcs of the curve for the 2D case, and of triangles and surface patches for the 3D case. The boundary description is computed for each case along with bit-complexity estimates. The computation reduces to univariate and bivariate solving and to isolating roots of a univariate polynomial with coefficients in a multiple algebraic field extension. To provide asymptotic upper bounds for the convex hull problem, the thesis provides bit-complexity bounds for the root isolation of a polynomial F ∈ L[Y], where L is a multiple algebraic extension of ℚ. Aggregate bounds for the separation of the roots of F are employed and two algorithmic solutions are présente; a formal one based on Rational Univariate Representations and a numerical one that is also certified

On Isolating Roots in a Multiple Field Extension

International audienceWe address univariate root isolation when the polynomial's coefficients are in a multiple field extension. We consider a polynomial $F \in L[Y]$, where $L$ is a multiple algebraic extension of $\mathbb{Q}$. We provide aggregate bounds for $F$ and algorithmic and bit-complexity results for the problem of isolating its roots. For the latter problem we follow a common approach based on univariate root isolation algorithms. For the particular case where $F$ does not have multiple roots, we achieve a bit-complexity in $\tilde{\mathcal{O}}_B(n d^{2n+2}(d+n\tau))$, where $d$ is the total degree and $\tau$ is the bitsize of the involved polynomials.In the general case we need to enhance our algorithm with a preprocessing step that determines the number of distinct roots of $F$. We follow a numerical, yet certified, approach that has bit-complexity$\tilde{\mathcal{O}}_B(n^2d^{3n+3}\tau + n^3 d^{2n+4}\tau)$

On the Error of Random Sampling: Uniformly Distributed Random Points on Parametric Curves

Given a parametric polynomial curve $\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n$, how can we sample a random point $\mathfrak{x}\in \mathrm{im}(\gamma)$ in such a way that it is distributed uniformly with respect to the arc-length? Unfortunately, we cannot sample exactly such a point-even assuming we can perform exact arithmetic operations. So we end up with the following question: how does the method we choose affect the quality of the approximate sample we obtain? In practice, there are many answers. However, in theory, there are still gaps in our understanding. In this paper, we address this question from the point of view of complexity theory, providing bounds in terms of the size of the desired error.Comment: 10 pages, 5 figures, 1 table. 2nd version: New title, major change

On the Error of Random Sampling: Uniformly Distributed Random Points on Parametric Curves

9 pages, 3 figures, 1 tableInternational audienceGiven a parametric polynomial curve γ:[a,b] →Rn, how can we sample a random point x ∈ im(γ) in such a way that it is distributed uniformly with respect to the arc-length? Unfortunately, we cannot sample exactly such a point---even assuming we can perform exact arithmetic operations. So we end up with the following question: how does the method we choose affect the quality of the approximate sample we obtain? In practice, there are many answers. However, in theory, there are still gaps in our understanding. In this paper, we address this question from the point of view of complexity theory, providing bounds in terms of the size of the desired error